함자 (수학)

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1. 개요

함자는 범주 C와 D 사이의 관계를 정의하는 수학적 개념이다. 함자 F: C → D는 C의 각 대상 X를 D의 대상 F(X)에, C의 각 사상 f: X → Y를 D의 사상 F(f): F(X) → F(Y)에 대응시킨다. 이러한 대응은 항등 사상과 사상의 합성을 보존해야 한다. 즉, F(idX) = idF(X)이고 F(g ∘ f) = F(g) ∘ F(f)를 만족해야 한다. 함자는 공변함자, 반변함자, 자기 함자, 쌍함자 등 다양한 종류가 있으며, 충실 함자, 전사 함자, 수반 함자, 가법 함자, 완전 함자와 같은 성질을 가질 수 있다. 함자는 가환도표를 보존하고 동형 사상을 보존하며, 함자의 합성은 항등원을 갖는다. 함자는 상수 함자, 항등 함자, 대각 함자, 극한 함자, 멱집합 함자, 쌍대 벡터 공간, 기본군/기본 군로이드, 연속 함수 대수, 접다발/여접다발 함자, 군 작용/표현, 리 대수 함자, 텐서곱 함자, 망각 함자/자유 함자, 준동형 사상 군, 표현 가능 함자 등 다양한 예시로 나타낼 수 있다. 함자의 개념은 대수적 위상수학, 대수기하학 등에서 발전했으며, 함수형 프로그래밍에서도 사용된다.

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함자 (수학)
수학
분야	범주론
하위 분야	추상대수학
정의
유형	사상
정의	범주 사이의 구조 보존 사상
성질
함자의 합성은 함자이다	참
함자는 가환도표를 보존한다	참
관련 개념
자연 변환	함자 사이의 사상
쌍대함자	함자의 일종
수반 함자	특별한 관계를 갖는 함자 쌍
모나드	자기 함자의 일종

2. 정의

범주 ''C''와 ''D''가 주어졌을 때, ''C''에서 ''D''로의 '''함자'''(函子, functor|펑크터^영어) ''F''는 다음과 같은 데이터로 구성된다.^[4]

''C''의 임의의 대상 ''X''에 대해 ''D''의 대상 ''F(X)''를 대응시킨다.
''C''의 임의의 사상 $f\colon X\to Y$ 에 대해 ''D''의 사상 $F(f)\colon F(X)\to F(Y)$ 를 대응시킨다.

이 데이터는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

(항등사상의 보존) $F(\operatorname{id}_{X}) =\operatorname{id}_{F(X)}$
(사상 합성의 보존) ''C''의 임의의 사상 $f\colon X \to Y$ 와 $g\colon Y\rightarrow Z$ 에 대해 $F(g\circ f) = F(g)\circ F(f)$

즉, 함자는 항등사상과 사상의 합성을 보존한다.

정의역과 공역이 같은 범주인 함자를 '''자기 함자'''(自己函子, endofunctor|엔도펑크터^영어)라고 한다.

2. 1. 공변함자

범주 ''C''와 ''D''가 주어졌을 때, ''C''에서 ''D''로의 공변함자 ''F''는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

''C''의 각 대상 ''X''를 ''D''의 대상 ''F(X)''에 대응시킨다.
''C''의 각 사상 ''f'' : ''X'' → ''Y''를 ''D''의 사상 ''F(f)'' : ''F(X)'' → ''F(Y)''에 대응시킨다.

이 데이터는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

(항등사상의 보존) ''C''의 모든 대상 ''X''에 대해 $F(\operatorname{id}_{X}) =\operatorname{id}_{F(X)}$ 이다.
(사상 합성의 보존) ''C''의 모든 사상 ''f'' : ''X'' → ''Y'' 및 ''g'' : ''Y''→ ''Z''에 대해 $F(g\circ f) = F(g)\circ F(f)$ 이다.

즉, 공변함자는 항등사상과 사상의 합성을 보존한다.

2. 2. 반변함자

범주 ''C''에서 ''D''로의 '''반변함자'''는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

''C''의 임의의 대상 ''X''에 대해 대응되는 ''D''의 대상 ''F(X)''
''C''의 임의의 사상 $f\colon X\to Y$ 에 대해 대응되는 ''D''의 사상 $F(f)\colon F(Y)\to F(X)$

이 데이터는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

(항등사상의 보존) $F(\operatorname{id}_{X}) =\operatorname{id}_{F(X)}$ 이다.
(사상 합성의 반변) ''C''의 임의의 사상 $f\colon X \to Y$ 와 $g\colon Y\rightarrow Z$ 에 대해 $F(g\circ f) = F(f)\circ F(g)$

즉, 반변함자가 합성사상을 보낼 때 두 사상의 순서가 바뀐다. 사상의 방향을 바꾸지 않는 보통의 함자는 반변함자와 구분하기 위해 '''공변함자'''(covariant functor|공변함자^영어)라고 한다. 다른 방법으로, 범주의 반변함자는 그 쌍대범주의 공변함자로서 정의할 수도 있다.

2. 3. 반대 함자

모든 함자

F \colon C \to D

는 '''반대 함자'''

F^\mathrm{op} \colon C^\mathrm{op} \to D^\mathrm{op}

를 유도하며, 여기서

C^\mathrm{op}

와

D^\mathrm{op}

는 각각

C

와

D

의 반대 범주이다.^[4] 정의에 따르면,

F^\mathrm{op}

는 객체와 사상을

F

와 동일하게 매핑한다.

C^\mathrm{op}

가 범주로서

C

와 일치하지 않고,

D

에 대해서도 마찬가지이므로,

F^\mathrm{op}

는

F

와 구별된다. 예를 들어,

F \colon C_0 \to C_1

과

G \colon C_1^\mathrm{op} \to C_2

를 합성할 때,

G \circ F^\mathrm{op}

또는

G^\mathrm{op} \circ F

를 사용해야 한다. 반대 범주의 속성에 따라,

\left(F^\mathrm{op}\right)^\mathrm{op} = F

이다.

3. 성질

함자는 다음과 같은 성질을 갖는다.

''F''는 ''C''의 각 가환도표를 ''D''의 가환도표로 변환한다.
만약 ''f''가 ''C''의 동형 사상이라면, ''F''(''f'')는 ''D''의 동형 사상이다.

함자는 합성할 수 있다. 즉, ''F''가 ''A''에서 ''B''로의 함자이고 ''G''가 ''B''에서 ''C''로의 함자이면, ''A''에서 ''C''로의 합성 함자 를 구성할 수 있다. 함자의 합성은 정의된 경우 결합 법칙을 만족한다. 함자 합성의 항등원은 항등 함자이다. 이는 함자가 작은 범주 범주와 같은 범주의 사상으로 간주될 수 있음을 보여준다.

단일 객체를 가진 작은 범주는 모노이드와 동일하다. 한 객체 범주의 사상은 모노이드의 원소로 생각할 수 있으며, 범주 내의 합성은 모노이드 연산으로 생각할 수 있다. 한 객체 범주 간의 함자는 모노이드 준동형 사상에 해당한다. 따라서 어떤 의미에서 임의의 범주 간의 함자는 하나 이상의 객체를 가진 범주에 대한 모노이드 준동형 사상의 일종의 일반화이다.

4. 함자의 종류

함자는 정의역과 공역, 그리고 사상의 방향 보존 여부에 따라 다양한 종류로 분류된다.

자기 함자: 정의역과 공역이 같은 범주인 함자이다.
반변함자: 사상을 반대 방향으로 대응시키는 함자이다. '' $C$ ''에서 '' $D$ ''로의 반변함자 $F$ 는 '' $C$ ''의 사상 $f\colon X\to Y$ 에 대해 '' $D$ ''의 사상 $F(f)\colon F(Y)\to F(X)$ 를 대응시킨다. 합성사상의 순서가 바뀌어 $F(g\circ f) = F(f)\circ F(g)$ 가 성립한다.
공변함자: 사상의 방향을 바꾸지 않는 일반적인 함자이다. 반변함자와 구분하기 위해 사용되는 용어이다. 쌍대범주의 공변함자를 통해 범주의 반변함자를 정의할 수도 있다.
쌍함자(이항 함자): 곱범주를 정의역으로 하는 함자이다.
다중 함자: 함자 개념을 ''n''개의 변수로 일반화한 것이다.

4. 1. 자기 함자

범주 에서 동일한 범주 로의 함자를 '''자기 함자'''(endofunctor^영어)라고 한다. 항등 함자는 자기 함자의 자명한 예이다. 또한, 범주 에서 그 부분 범주 로의 함자도 범주 에서의 자기 함자이다.

집합의 범주 에서 자기 자신으로의 함자 를 각 집합을 해당 멱집합으로 매핑하고, 각 사상 를 사상 로 매핑하여 생각할 수 있다. 또한 사상 를 가 되는 사상에 대응시켜 반변 멱집합 함자를 생각할 수도 있다. 반변 버전의 멱집합 함자는 두 점 집합에 의해 표현된다.

가환체 위의 벡터 공간을 해당 쌍대 공간에 대응시키고 선형 사상을 해당 전치 사상에 대응시킴으로써 -벡터 공간의 범주에서 자기 자신으로의 반변 함자를 구성할 수 있다.

점 있는 위상 공간, 즉 기점을 동반한 위상 공간의 범주를 생각한다. 그 대상은 위상 공간 와 의 고정된 점 의 쌍 이며, 에서 로의 사상은 가 되는 (기점을 기점으로 매핑하는) 연속 사상 에 의해 주어진다.

점 있는 위상 공간 에 대해 기본군 는 를 기점으로 하는 내의 루프의 호모토피류를 갖는 군으로 정의할 수 있다. 가 점 있는 위상 공간의 사상이라면 내의 를 기점으로 하는 모든 닫힌 경로는 를 기점으로 하는 내의 닫힌 경로로 매핑된다. 이 연산은 호모토피 동치와 닫힌 경로의 합성과 양립하므로 에서 로의 군의 준동형 사상을 얻는다. 여기서 점 있는 위상 공간의 범주에서 군의 범주로의 함자를 얻는다.

기점을 특별히 지정하지 않는 위상 공간의 범주에서는 일반적인 경로에 대해 (단점을 고정하는) 호모토피류를 생각할 수 있다. 이로써 위상 공간의 범주에서 작은 범주의 범주로의 공변 함자인 기본 아군 이 얻어지는데, 이는 의 각 점을 기점으로 하여 얻어지는 기본군과 경로의 합성에 의해 주어지는 기점의 교체를 표현하는 것으로 볼 수 있다. 연속 사상 에 대응하는 사상 는 함자 가 된다.

가, 의 대상 중 추가적인 구조를 갖는 것의 범주로 공식화되어 있을 때, 의 대상의 추가적인 구조를 무시함으로써 에서 로의 '''망각 함자'''(forgetful functor^영어)를 생각할 수 있다. 망각 함자의 왼쪽 수반 함자인 함자는 '''자유 함자'''(free functor^영어)라고 한다.

매우 단순한 망각 함자로서, 아벨 군의 교환 법칙을 무시하는 망각 함자에서 군이 얻어지고, 군에서 역원을 무시하여 모노이드가, 모노이드에서 단위원을 무시하여 반군이 얻어지는 망각 함자가 예시로 든다.

또한 복소수체 위의 벡터 공간의 범주에서 각 벡터 공간을 단순히 집합으로 보고 각 선형 사상을 단순히 집합 간의 사상으로 보아 집합의 범주로의 망각 함수를 구성할 수 있다. 각 집합에 대해 해당 원소의 형식적인 선형 결합의 공간을 생각함으로써 이 망각 함수에 대한 왼쪽 수반 함수를 구성한다.

미분 가능 다양체를 해당 접 벡터 다발로 옮기고, 매끄러운 사상을 해당 미분으로 옮기는 사상은 미분 가능 다양체의 범주에서 벡터 다발의 범주로의 공변 함자이다. 마찬가지로, 미분 가능 다양체를 해당 여접 벡터 다발로 옮기고, 매끄러운 사상을 해당 으로 옮기는 사상은 반변 함자를 결정한다.

이러한 구성을 점별로 생각하면, 기점 있는 미분 가능 다양체의 범주에서 실 벡터 공간의 범주로의 공변 및 반변 함자를 얻는다.

실수 또는 복소 리 군에 대해, 해당 부속 실수 또는 복소 리 대수를 대응시킴으로써 함자가 정해진다.

를 어떤 고정된 체 위의 벡터 공간의 범주로 하고, 그 사상으로 선형 사상을 취할 때, 텐서 곱 는, 두 인수에 대해 공변하는 함자 를 결정한다.

4. 2. 쌍함자

'''쌍함자'''(혹은 '''이항 함자''')는 곱범주를 정의역으로 하는 함자이다. 예를 들어, Hom 함자는 ''C''^op × ''C'' → '''Set'''의 형태를 갖는다. 이는 ''두'' 인수를 갖는 함자로 볼 수 있으며, 한 인수에서는 반변적이고 다른 인수에서는 공변적이다.

'''다중 함자'''는 함자 개념을 ''n''개의 변수로 일반화한 것이다. 예를 들어, 쌍함자는 ''n'' = 2인 다중 함자이다.

4. 3. 다중 함자

곱범주를 정의역으로 하는 함자는 쌍자이펀터(혹은 이항 함자)라고 한다. 예를 들어 Hom 함자는 ''C''^op × ''C'' → '''Set'''^영어의 형태를 갖는다. 이는 *두* 인수를 갖는 함자로 볼 수 있으며, 한 인수에서는 반변적이고 다른 인수에서는 공변적이다.

함자 개념을 ''n''개의 변수로 일반화한 것을 다중 함자라고 한다. 예를 들어, 쌍자이펀터는 인 다중 함자이다.

4. 4. 충실 함자, 전사 함자

다음 F: C → D를 함자라고 하자.

C의 임의의 대상 X, Y에 대해 F: Hom_C(X, Y) → Hom_D(FX, FY); f → F(f)가 단사일 때 F는 '''충실'''하다고 하고, 이 대응이 전사일 때 F는 '''전사'''라고 한다.

4. 5. 수반 함자

함자 에 대해 함자 가 를 만족하면 는 의 '''왼쪽 수반'''이라고 하고, 는 의 '''오른쪽 수반'''이라고 한다.

4. 6. 가법 함자

사상 집합이 아벨 군이 되는 범주 (Ab|-풍요 범주^영어) 사이의 함자가, 사상 집합 사이의 군 준동형을 주면 '''가법적'''이라고 한다.^[1]

4. 7. 완전 함자

짧은 완전열을 짧은 완전열로 사상하는 함자는 '''완전'''하다고 하며, 완전 함자는 임의의 완전 계열을 보존한다. 유한 극한만을 보존하는 함자는 '''왼쪽 완전''', 쌍대적으로 유한 여극한만을 보존하는 함자는 '''오른쪽 완전'''이라고 한다.^[1]

5. 예시

그림: 범주 ''C''와 ''J''에 대해, ''C''에서 ''J'' 유형의 그림은 공변 함자이다.
(범주론적) 프리셰프: 범주 ''C''와 ''J''에 대해, ''C''에 대한 ''J''-프리셰프는 반변 함자이다. 특히 J가 집합과 함수 범주인 '''Set'''인 경우, ''D''는 ''C''에 대한 프리셰프라고 한다.
프리셰프 (위상 공간 위): ''X''가 위상 공간인 경우, ''X''의 열린 집합은 포함 관계에 따라 부분 순서 집합을 형성한다. 모든 부분 순서 집합과 마찬가지로, $U \subseteq V$ 인 경우에만 단일 화살표를 추가하여 작은 범주를 형성한다. 이에 대한 반변성 함자는 ''X''에 대한 ''프리셰프''라고 한다. 예를 들어, 모든 열린 집합 ''U''에 ''U''에 대한 실수 값 연속 함수의 결합 대수를 할당하여, ''X''에 대한 대수의 프리셰프를 얻을 수 있다.
엔도함자: 범주를 같은 범주로 매핑하는 함자이다. 다항 함자가 그 예시이다.
극한 함자: 고정된 지수 범주 ''J''에 대해, 모든 함자가 극한을 가지는 경우 (예: ''C''가 완비인 경우), 극한 함자는 각 함자에 그 극한을 할당한다. 이 함자의 존재는 이것이 대각 함자의 오른쪽 수반임을 깨닫고 Freyd 수반 함자 정리를 적용함으로써 증명할 수 있다. 이 과정에는 적절한 버전의 선택 공리가 필요하다. 유사한 언급은 여극한 함자(각 함자에 여극한을 할당하며 공변성)에도 적용된다.
준동형 사상 군: 두 아벨 군 ''A'', ''B''의 모든 쌍에 대해, ''A''에서 ''B''로의 모든 군 준동형 사상으로 구성된 아벨 군 Hom(''A'', ''B'')를 할당할 수 있다. 이것은 첫 번째 인수에 대해 반변성이고 두 번째 인수에 대해 공변성인 함자, 즉 함자 이다 (여기서 '''Ab'''는 군 준동형 사상을 갖는 아벨 군 범주를 나타낸다). 및 가 '''Ab'''의 사상인 경우, 군 준동형 사상 :는 로 주어진다. Hom 함자를 참조.

5. 1. 상수 함자

'''상수 함자'''(constant functor^영어)는 범주 ''C''의 모든 대상에 대해 범주 ''D''의 특정한 대상 ''X''를 대응시키고, ''C''의 모든 사상에 대해 X 상의 항등사상을 대응시키는 함자이다. 상수 함자는 '''선택 함자'''라고도 한다.

5. 2. 항등 함자

범주 C의 모든 대상과 사상을 자기 자신으로 대응시키는 함자를 항등 함자라고 한다. 항등 함자는 자기 함자의 자명한 예이다.

5. 3. 대각 함자

범주 ''D''의 대상 ''X''를 ''X'' 상의 상수 함자로 보내는 함자를 '''대각 함자'''라고 한다. 이는 ''D''에서 함자 범주 ''D''^''C''로의 함자이다.

5. 4. 멱집합 함자

집합의 범주에서 자기 자신으로의 함자 는 각 집합을 해당 멱집합으로 매핑하고, 각 사상 를 사상 로 매핑하여 생각할 수 있다. 또한 사상 를 가 되는 사상에 대응시켜 반변 멱집합 함자를 생각할 수도 있다. 반변 버전의 멱집합 함자는 두 점 집합에 의해 표현된다.

5. 5. 쌍대 벡터 공간

가환체 위의 벡터 공간을 해당 쌍대 공간에 대응시키고 선형 사상을 해당 전치 사상에 대응시킴으로써 K-벡터 공간의 범주에서 자기 자신으로의 반변 함자를 구성할 수 있다.^[3]

5. 6. 기본군/기본 군로이드

점 있는 위상 공간을 그 기본군으로 대응시키는 것은 함자이다. 점이 없는 위상 공간의 경우에는 기본 아군을 사용한다.

점 있는 위상 공간 $X$에 대해 기본군 $\pi_1(X, x)$는 $x$를 기점으로 하는 $X$ 내의 루프의 호모토피류를 갖는 군으로 정의할 수 있다.

$f: (X, x) \to (Y, y)$가 점 있는 위상 공간의 사상이라면 $X$ 내의 $x$를 기점으로 하는 모든 닫힌 경로는 $Y$ 내의 $y$를 기점으로 하는 닫힌 경로로 매핑된다. 이 연산은 호모토피 동치와 닫힌 경로의 합성과 양립하므로 $\pi_1(X, x)$에서 $\pi_1(Y, y)$로의 군의 준동형 사상을 얻는다. 여기서 점 있는 위상 공간의 범주에서 군의 범주로의 함자를 얻는다.

기점을 특별히 지정하지 않는 위상 공간의 범주에서는 일반적인 경로에 대해 (단점을 고정하는) 호모토피류를 생각할 수 있다. 이로써 위상 공간의 범주에서 작은 범주의 범주로의 공변 함자인 기본 아군 $\Pi$가 얻어지는데, 이는 $X$의 각 점을 기점으로 하여 얻어지는 기본군과 경로의 합성에 의해 주어지는 기점의 교체를 표현하는 것으로 볼 수 있다. 연속 사상 $f: X \to Y$에 대응하는 사상 $\Pi f$는 함자 $\Pi X \to \Pi Y$가 된다.

5. 7. 연속 함수 대수

위상 공간과 그 사이의 연속 사상을 사상으로 하는 범주에서 실수 결합적 다원환의 범주로의 반변 함수는 각 위상 공간 $X$에 대해 그 위의 실수값 연속 함수 전체로 구성된 다원환 $C(X)$를 대응시켜서 만들어진다. 각 연속 사상 $f\colon X\to Y$는 각 $\varphi \in C(Y)$에 대해 $C(f)(\varphi) \coloneqq \varphi \circ f$로 놓음으로써 다원환의 준동형 사상 $C(f)\colon C(Y)\to C(X)$를 발생시킨다.

5. 8. 접다발/여접다발 함자

미분 가능 다양체를 해당 여접 벡터 다발로 옮기고, 매끄러운 사상을 해당 Pullback|당김|당김 (미분 기하학)^영어으로 옮기는 사상은 반변 함자를 결정한다.

이러한 구성을 점별로 생각하면, 기점이 있는 미분 가능 다양체의 범주에서 실수 벡터 공간의 범주로의 반변 함자를 얻는다.

5. 9. 군 작용/표현

군 $G$에서 집합 범주로의 함자는 $G$-집합과 관련되며, 벡터 공간 범주로의 함자는 $G$의 선형 표현과 관련된다.

5. 10. 리 대수 함자

리 군을 그 리 대수로 대응시키는 함자이다.

5. 11. 텐서곱 함자

고정된 체 위의 벡터 공간의 범주에서 텐서 곱 는 두 인수에 대해 공변인 함자 를 정의한다.

5. 12. 망각 함자/자유 함자

범주론에서, '''망각 함자'''(forgetful functor^영어)는 어떤 대상의 구조 중 일부 또는 전부를 "잊어버리는" 함자이다. 예를 들어, 군은 집합에 연산과 역원 등의 추가적인 구조를 부여한 것이므로, 군을 단순히 집합으로 대응시키는 망각 함자를 생각할 수 있다. 이 경우, 군의 연산 구조는 잊혀진다. 망각 함자의 왼쪽 수반 함자는 '''자유 함자'''(free functor^영어)라고 한다.

망각 함자의 예시는 다음과 같다.

아벨 군의 교환 법칙을 무시하여 군을 얻는 망각 함자
군에서 역원을 무시하여 모노이드를 얻는 망각 함자
모노이드에서 단위원을 무시하여 반군을 얻는 망각 함자
복소수체 위의 벡터 공간을 단순히 집합으로 보고, 선형 사상을 단순히 집합 간의 사상으로 보는 망각 함자 (이 망각 함자의 왼쪽 수반 함자는 주어진 집합의 원소들을 기저로 하는 자유 벡터 공간을 만드는 함자이다.)

5. 13. 표현 가능 함자

범주의 대상 X에 대해 Hom_C(-, X)나 Hom_C(X, -)의 형태로 나타낼 수 있는 C에서 '''Sets'''로의 함자는 '''표현 가능 함자'''라고 불린다. 요네다 보조정리에 의해 표현 가능 함자들과 그 사이의 자연 변환은 원래 범주의 구조를 완전히 반영한다는 것이 알려져 있다. 수학의 다양한 상황에서 주어진 함자가 표현 가능한지 여부, 어떤 대상으로 표현되는지, 또는 그 함자가 표현 가능하도록 범주를 변형할 수 있는지 등이 문제가 된다.

6. 역사

함자의 개념은 에바리스트 갈루아의 군을 사용한 대수 방정식 연구에서 찾아볼 수 있다.^[9]

20세기 초 에미 뇌터 등에 의한 가군 연구에서 확장 가군 등 다양한 함자적 구성이 축적되었다.^[9]

20세기 중반 대수적 위상수학에서 실제로 함자가 정의되어, 도형으로부터 다양한 "자연스러운" 대수적 구조를 추출하는 조작을 형식화하기 위해 이용되었다. 여기서는 (기본군과 같은) 대수적 대상이 위상 공간에서 유도되고, 위상 공간 사이의 연속 사상은 기본군 사이의 대수적 준동형을 유도한다.^[9]

이후 알렉산드르 그로텐디크 등에 의한 대수 기하학의 변혁 속에서 다양한 수학적 대상의 함자에 의한 형식화가 철저하게 추구되었다.^[9]

‘Funktor|풍크토어^de’라는 단어는 원래 철학자 루돌프 카르나프가 1934년에 언어철학에 대한 저서 《언어의 논리적 구문》(Logische Syntax der Sprache^de)에서 정의한 용어다.^[9]

사무엘 에일렌베르크와 손더스 매클레인이 1945년에 카르나프의 용어를 ‘functor|펑크터^영어’로 수학에 차용하여 도입하였다.^[10]

7. 다른 범주론적 개념과의 관계

범주 ''C''와 ''D''가 주어졌을 때, ''C''에서 ''D''로 가는 모든 함자들의 모임은 범주의 대상이 되며, 이를 함자 범주라고 한다. 이 범주에서의 사상은 함자들 사이의 자연 변환이다.

함자는 종종 보편 성질에 의해 정의되며, 그 예로는 텐서곱, 가군의 직합 및 직곱, 자유군과 가군의 구성, 직극한 및 역극한 등이 있다. 극한과 쌍대극한의 개념은 위에 언급된 여러 개념을 일반화한다.

보편적인 구성은 종종 수반 함자의 쌍을 생성한다.

8. 컴퓨터 구현

함자는 함수형 프로그래밍에서 종종 나타난다. 예를 들어 Haskell 프로그래밍 언어에는 클래스 `Functor`가 있는데, 여기서 `fmap`는 기존 유형 간의 함수(Haskell 유형의 범주인 ''Hask''의 ''모르피즘'')^[6]를 새로운 유형 간의 함수로 매핑하는 데 사용되는 다형 함수이다.^[7]

참조

_[1] 서적 Categories for the Working Mathematician Springer-Verlag
_[2] 서적 The Logical Syntax of Language Routledge & Kegan
_[3] 서적 Theory of categories https://books.google[...] Springer 1979
_[4] 서적 Sheaves in geometry and logic: a first introduction to topos theory Springer
_[5] 서적 Algebras, rings and modules Springer
_[6] 웹사이트 It's not entirely clear that Haskell datatypes truly form a category. See https://wiki.haskell[...]
_[7] 웹사이트 See https://wiki.haskell[...]
_[8] 웹사이트 4. Equivalent characterizations
_[9] 서적 Logische Syntax der Sprache Springer 1934
_[10] 저널 General theory of natural equivalences 1945-09
_[11] 서적 Categories for the working mathematician Springer 1998

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